Gâteaux-différentiabilité
Définition
Définition de la Gâteau-différentiabilité :
- soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- soit \(U\in E\) ouvert
- soit \(f:U\to F\)
- \(f\) admet des dérivées directionnelles dans toutes les directions
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est dite Gâteaux-différentiable
(
Dérivée directionnelle,
Différentiabilité)
[!Warning] Gâteau-différentielle
Si \(f\) est Gâteau-différentiable mais pas différentiable, \(v\mapsto\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}\) n'est pas forcément linéaire ni même continue.
[!Example]
$$f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^3}{x^2+y^2}&\text{si}\quad(x,y)\ne(0,0)\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$ n'est pas linéaire.
